圆的周长公式怎么算（圆的面积公式是怎么得到的）

对于任意圆，其面积s等于圆周率与半径平方r ^ 2的乘积。或者说，任意圆的面积与其半径的平方之比都是同一个常数—— pi。那么，这个结论是严格的数学证明，还是数学直觉？事实上，圆面积公式(s=r ^ 2)可以在数学上严格证明。中国古代数学家和古希腊数学家都证明了这个公式。圆面积公式的证明方法有很多种，这里举几个例子。

（1）极限法一

如果一个圆被分成n个相等的部分，那么它被拼接成如下四边形：

当n趋于无穷大，即圆被分成无穷多个相等的部分时，那么四边形就变成了矩形。显然，这个矩形的长度是半圆的周长(r)，宽度是圆的半径(r)。这个矩形的面积等于一个圆的面积，那么圆面积的公式可以得到如下：S=r？r=r^2。

但要完成这样的证明，首先要证明周长公式(C=2r)。根据相似三角形原理，用几何方法很容易证明圆的周长与直径之比相等，称为圆周率。

（2）极限法二

将圆分成n个相等的部分，并连接每个扇区中半径和圆的交点。并且假设每个扇形的中心角为2，那么2=2/n。

考察其中一个三角形OAB，根据三角函数，OC=rcos，AB=2rsin，三角形OAB的面积为：

SOAB=1/2 AB OC=r^2sincos

当n趋于无穷大时，圆的面积可以表示为：

S=lim(n )n SOAB

根据极限原理，可以计算出s=r ^ 2。

（3）积分法一

严格来说，这也是一种极限方法，但这里圆的面积是严格用圆的方程(x ^ 2 ^ y ^ 2=r ^ 2)来计算的：

（4）积分法二

如果把圆分成无数个厚度为dr的薄环，那么每个环的面积为2 r dr，可以通过积分得到：

总之，圆的面积与其半径的平方之比为pi，这是经过严格数学证明的，不是经验公式。